Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8} = 3 u$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8}}^{2} = {(3 u)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8}$ como ${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 u)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 u)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 u)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(10 u^{2} - 4 u - 8)}^{1} = {(3 u)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$10 u^{2} - 4 u - 8 = {(3 u)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(3 u)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $3 u$ .

$10 u^{2} - 4 u - 8 = 3^{2} u^{2}$

Paso 2.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$10 u^{2} - 4 u - 8 = 9 u^{2}$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $u$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $9 u^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$10 u^{2} - 4 u - 8 - 9 u^{2} = 0$

Paso 3.1.2

Resta $9 u^{2}$ de $10 u^{2}$ .

$u^{2} - 4 u - 8 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Suma $16$ y $32$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.4.1.4.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$u = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{10 u^{2} - 4 u - 8} = 3 u$ sea verdadera.

$u = 2 + 2 \sqrt{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$u = 2 + 2 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$u = 5.46410161 \dots$